本说明的目的

v30.4 是对 v30.3 的纯措辞修订：未改变任何数值、方程、图或验证域。新增了三段简短文字，以加强针对经验性 $(\widehat{S},b)$ beyond-Fisher 修正（Eqs. mean-corr/sigma-corr）的辩护，回应审稿人自然会问的问题——"这些修正为何是经验性的而非推导得到的？"本说明对每段新增文字展开给出完整的支持证据，这些证据在正文中有意略去（正文仅以"将在别处给出"引用之）。

简言之：我们曾两次尝试推导这些修正，并曾一次试图证明它们是普适的、与 PSF 无关的规律。三次尝试均告失败，而每次失败都提供了有价值的信息。综合起来，它们将"我们没有推导"转化为"我们有证据表明不存在简单的推导，同时有证据精确指明该经验规律的适用范围"。

Passage 1：残差超越任何局部二阶展开

正文所述内容

这些修正的经验性地位本身也是一个受约束的结果，而不仅仅是建模上的权宜之计。[...] 以幅值分数为条件对 $C_\mathrm{best}$ 做二阶展开，不拟合任何系数，无法重现 Equations (mean-corr)–(sigma-corr) 中的五个系数：其均值贡献近似为一个与位置排名相关的常数增益，而非观测到的 $\widehat{S}^{-0.40}$ 衰减；其方差项也得不到经验性的 $1/\widehat{S}$ 散度亏缺。这使得低信号残差超出了局部二次或 Bartlett 型展开的范畴，与参考拟合器分解中所分离出的 position-argmax 机制一致。

完整图景

所辩护的经验规律来自生产级 17 位置 $\times$ 6 背景参考拟合器运行（$\sim 8\times10^5$ 次拟合）： $$\begin{aligned} \Delta\mu(\widehat{S},b) &= \big(a_\mu + c_\mu \log_{10} b\big)\,\widehat{S}^{-p_\mu}, \quad (a_\mu, c_\mu, p_\mu) = (0.59,\, -1.02,\, 0.40) \label{eq:target-mean}\\ \sigma_C^\mathrm{ratio}(\widehat{S},b) &= 1 - \frac{a_\sigma + c_\sigma \log_{10} b}{\widehat{S}}, \quad (a_\sigma, c_\sigma) = (1.49,\, 0.39) \label{eq:target-sigma} \end{aligned}$$

我们分两个阶段尝试了从第一性原理出发的推导。

阶段 A（无条件 Bartlett 项）。 一阶理论将 $\Delta C$ 在 Poisson 涨落中线性化，并以拟合分数为条件。该展开的下一阶是二次（Bartlett）分数空间项，$Q = z^\top H z - \operatorname{tr}(H)$，其无条件方差为 $2\,\operatorname{tr}(H)$——无论 $\widehat{S}$ 取何值，恒定地增加 $+2$（仅幅值情形）或 $+6$（三参数情形）到方差中。这具有错误的符号和错误的形状：它只能增加方差，而 Eq. [eq:target-sigma] 中的经验规律需要的是在阈值附近较大、在高 $\widehat{S}$ 时趋于零的方差亏缺。

阶段 B（分数条件展开）。 我们随后推导了正确的对象：投影到分数固定（固定 $\widehat{S}$）子空间上的二次分数空间项，使用幅值分数投影子 $P_S = I - a_S(a_S^\top a_S)^+a_S^\top$ 和位置块曲率 $I_\mathrm{pos} = B^\top B$，其中 $B = P_S\,[\,S\,\partial p/\partial x/\sqrt{\mu},\ S\,\partial p/\partial y/\sqrt{\mu}\,]$。这给出了条件均值偏移 $\operatorname{tr}(I_\mathrm{pos}^+ I_\mathrm{pos}) + O(z^3)$ 以及由 $U^\top I_\mathrm{pos}^+ R\, I_\mathrm{pos}^+ U$ 构成的条件方差修正，其中 $R$ 为每像素 Poisson 均值的曲率。在数值上（Gaussian PSF，$\sigma = 1.5925$ px，$\widehat{S}\in[4,80]$，$b\in\{0.01,\dots,0.16\}$），不拟合任何系数到经验规律，将推导量直接与 Eqs. [eq:target-mean]–[eq:target-sigma] 比较：

从原始评估网格独立重新推导有效形状，证实这不是一个系数调节偏差，而是一次定性失败：推导出的均值偏移在整个 $\widehat{S}=4$–$80$ 范围内近似恒定在 $\approx +2$（完全不衰减，更不用说按 $\widehat{S}^{-0.40}$ 衰减），而恒定的 $+2$ 均值偏移实际上与正文自身已验证的高 $\widehat{S}$ 闭合性不一致（$\langle Z\rangle = +0.07$，在 $\widehat{S}>20$ 处，见正文参考拟合器验证表）。同样地，推导出的有效 $A_\sigma(\widehat{S},b) \equiv \widehat{S}\,(1-\sigma_C^\mathrm{ratio})$ 在 $\widehat{S}$ 上完全不是常数——它在网格上变号——因此在该展开的任何局部 Taylor 精炼阶数中都不存在 $1/\widehat{S}$ 规律。

结论。 两种结构不同的局部展开（无条件 Bartlett、分数条件 Bartlett）均以不同且特定方式失败。这比单次失败更有力：它表明 beyond-Fisher 残差根本不是一个局部（内点 Taylor）现象。这与针对性配对分量分解的机制发现完全一致（见正文的机制分解部分）：主导的低 $\widehat{S}$ 项是质心重定位 / position argmax，即观测到的 $\Delta C$（局部地）是位置搜索网格上的上确界，而非单一拟合点处的值——而围绕一个内点的展开无法表示一个域上的 argmax。

Passage 2：修正是 PSF 族特异的

正文所述内容

[...] 使用 Gaussian $\sigma=1.59$ 像素、宽 Gaussian $\sigma=2.79$ 像素和 King $r_c=2.5$ 像素、$\alpha=1.5$ 的 toy 配置、相同 $\mathtt{ecut}=15$ 掩膜的跨 PSF 可迁移性测试表明，修正系数是 PSF 族特异的：Gaussian toy 的均值规律在高显著性的最精确低 $\widehat{S}$ 箱中与 XMM-psfgen-模板生产规律存在显著差异，且 $bA_\mathrm{psf}$ 和 $b\,n_\mathrm{pix}$ 都无法使跨 PSF 族的均值系数统一。因此，低信号修正必须按 PSF 模板族分别标定。在本文所用的 XMM psfgen-模板族内，下文展示的 17 位置离轴稳定性恰好就是已验证的操作域。

完整图景

在推导 Eqs. [eq:target-mean]–[eq:target-sigma] 失败后，我们提出了一个较弱的问题：一旦用合适的无量纲背景变量表示，它们至少是否普适于不同 PSF 形状？由 position-argmax 机制所启发的自然候选量是 $b_\mathrm{eff} = b\,A_\mathrm{psf}$（每有效 PSF 足迹的背景，$A_\mathrm{psf} = 1/\sum p_\mathrm{norm}^2$）和 $b\,n_\mathrm{pix}$（每掩膜像素的背景）。

我们以三个 PSF/掩膜配置（跨越 $3.4\times$ 的有效 PSF 面积范围）重跑了相同的参考拟合器流水线（相同的拟合代码、相同的 $\widehat{S}$ 分箱、相同的圆形 $\mathtt{ecut}=15$ 掩膜）：

有两点引人注目。第一，基线 Gaussian 对照完全未能重现生产 XMM 模板系数 $(0.59, -1.02, 0.40, 1.49, 0.39)$：$a_\mu$ 偏离 $5.2\sigma$，$c_\mu$ 偏离 $3.6\sigma$，$p_\mu$（每个配置均约为 $0$，即在此精度下任何 toy 中均无法测量到幂律衰减）偏离 $8\sigma$，$a_\sigma$ 偏离 $2.6\sigma$；仅 $c_\sigma$ 一致。由于 v30.3 的生产系数是用像素化的 XMM psfgen 模板（类 King 翼）而非理想化 Gaussian 测量的，该对照失配本身即表明 PSF 形状起作用，而非 bug：最统计精确的低 $\widehat{S}$ 箱在 $b\ge0.08$ 处以 Gaussian PSF 评估时以 $10$–$18\,\sigma$ 拒绝生产均值规律。

第二，所测试的任何重标定都未能统一三种配置。我们对原始 $b$、$b_\mathrm{eff}=b A_\mathrm{psf}$ 和 $b\,n_\mathrm{pix}$ 拟合相同函数形式，并检查三种配置的系数是否在 bootstrap 误差范围内坍缩到一个共同值：

结论。 King 配置——PSF 翼最重的那个——显示了最大的方差亏缺（$a_\sigma=1.63$ vs. 窄 Gaussian 的 $0.94$），这恰好是 position-argmax 机制所预测的排序：更重的翼给位置优化器更多寻找虚假峰的空间。但效应大小在所尝试的任一无量纲变量下都不坍缩到一条普适曲线。因此，修正被视为 PSF 族特异的：在 XMM psfgen-模板族内有效（已由正文中已有的 17 位置离轴独立性支持），不声称与仪器无关。

Passage 3：emldetect 传递是一个实现层

正文所述内容

同种子配对的参考拟合器与独立 emldetect 实验表明，独立 $\Delta C$ 几乎完美地跟踪参考拟合器（相关系数 0.996），存在一个小的仿射偏移和一个随离轴角增长的实现抖动；这支持将从参考理论到独立流水线的传递视为一个经验性实现层，而非对可观测条件化形式体系的改变。

完整图景

使用 21,000 行同种子配对数据（参考拟合器 vs. 独立 emldetect，$b=0.04$，$S_\mathrm{true}\in[8,20]$，PN band-4 式配置，14–17 个探测器位置），两条流水线的 $\Delta C$ 值之间通过一个简单的仿射映射加一个位置依赖抖动关联： $$\Delta C_\mathrm{eml} = a\,\Delta C_\mathrm{ref} + c + \varepsilon(\theta), \qquad a = 0.9857,\ \ c = 0.632,$$ 其中 $\operatorname{corr}(\Delta C_\mathrm{ref}, \Delta C_\mathrm{eml}) = 0.996$，抖动标准差从在轴 $\sigma_\varepsilon \approx 1.28$ 增长到离轴 $\theta\approx8.8'$ 处 $\approx 2.07$（按环拟合与 $\theta$ 线性拟合在统计上不可区分，$\sigma_\varepsilon(\theta) \approx 1.32 + 0.046\,\theta$）。

将此传递通过参考拟合器理论传播，$\mu_\mathrm{eml} = a\,\mu_{3p} + c$ 和 $\operatorname{Var}_\mathrm{eml} = a^2\operatorname{Var}_{3p} + \sigma_\varepsilon(\theta)^2$，并在留出探测器位置（留一位置法）上测试，几乎精确地闭合了独立 emldetect 在检测阈值处所注明的宽度差距：

关键的是，将（已验证的）Eqs. [eq:target-mean] 低信号均值修正先施加于 $\mu_{3p}$ 再做仿射映射，传递层宽度基本不变，仅平移均值残差——这证实了 beyond-Fisher 均值物理与 emldetect 实现层是可干净分离的，正如正文的框架所假设的那样。

一个未写入正文的保留意见（它是下一步事项，而非已验证结果）：仿射残差散度在 $\widehat{S}$ 上不是常数——它从阈值附近的 $\approx1.6$–$1.8$ 增长到 $\widehat{S}\approx35$–$42$ 处的 $\approx3.0$——因此目前仅含 $\theta$ 的抖动模型在 $\mathrm{DET\_ML}=6$–$10$ 带以上修正不足。这不影响正文中所做的操作声明，该声明限定于检测阈值。

小结