引言

Poisson 计数光子成像中的源检测通常是通过在已知背景上拟合参数化源模型并使用似然比统计量总结结果来完成的。在标准 Cash 统计量表述下 (Cash 1979)，天然的统计对象是 Cash 改进 $\Delta C = C_\mathrm{null} - C_\mathrm{best}$，其中 $C$ 与两倍的负 Poisson 对数似然成正比。检测管道通常将 $\Delta C$ 的单调变换报告为“检测似然”；例如在 XMM-Newton 科学分析系统（SAS）中，emldetect (Cruddace 等 1988; Watson 等 2009) 对 Poisson 计数图像拟合一个三参数源模型——一个自由振幅和两个自由位置坐标——并报告 DET_ML，即底层 $\Delta C$ 的不完全伽马变换。报告的检测似然统计量在操作上非常重要：它被用于决定哪些源进入目录、定义检测阈值以及构建灵敏度图。

灵敏度图和源计数方法论已经在主要的 X 射线调查中得到广泛开发和应用 (Cappelluti 等 2009; Georgakakis 等 2008; Laird 等 2009; Luo 等 2017, e.g.,; Mateos 等 2008; Puccetti 等 2009; Wang 等 2016; Xue 等 2011)。泊松源检测、极限和似然比方法的统计处理在高能天体物理学中也有悠久的历史 (Broos 等 2010, e.g.,; Gehrels 1986; Kashyap 等 2010; Kraft 等 1991; Protassov 等 2002; Starck 等 2002)。emldetect 工具一直是 XMM-Newton 偶然巡天目录的标准 (Carrera 等 2007; Rosen 等 2016; Traulsen 等 2019; Watson 等 2009; Webb 等 2020)。

我们在一开始就强调，本文中使用的 $\DETML$ 严格作为从 SAS 约定继承来的操作单调阈值尺度。我们不将其解释为校准的频繁主义虚警概率。标准的 $\chi^2_3$ 零分布，支撑不完全伽马变换，假设了内部正则性条件 (Chernoff 1954; Protassov 等 2002; Self & Liang 1987)，这些条件在参数空间边界（$S=0$）以及当位置参数在零假设下不可识别时被违反。更一般地说，Cash 统计量本身的分布在低计数 Poisson 条件下偏离其高计数 $\chi^2$ 极限 (Bonamente 2020)。我们使用的 $\DETML$–$\Delta C$ 转换纯粹是操作性的：它将调查分析师选择的检测阈值映射到相应的 $\Delta C$ 值，在那里可观测量条件化理论适用。

实际的阈值 regime 是低信号。对于许多 XMM-Newton 应用，相关的灵敏度图范围是 $\DETML$ 的数量级为 6–10。这是源计数陡峭、泊松涨落重要，且检测阈值的微小变化就可能改变推导出的限制通量的 regime。因此，这也是 Eddington 偏差变得重要的 regime：随机的向上涨落在检测边界附近被优先选择，导致所选样本不再代表未截断的母体分布 (Eddington 1913; Wang 2004)。

核心挑战不在于缺少可预测的均值。拟合源处的期望 $\Delta C$ 已经长期可以通过解析计算，并在 X 射线灵敏度图构建中作为单个确定性值使用。在 SAS 本身内部，从 4.0 版本开始，esensmap 就携带了 emldetect-style 的解析 Cash 统计量模式，遵循 3XMM 和 4XMM 目录管道的 emldetect $\Delta C$ 形式 (Rosen 等 2016; Traulsen 等 2019)；在 SAS 之外，同样的期望在 检测到的（而不是注入的）源通量处被评估，用于构建 New-ANGELS XMM 遗产巡天的灵敏度图 (Huang 等 2025, appendix)。然而，这些先前的文献未能将 $\Delta C$ 视为来自非平凡采样分布的样本。

然而，正是分布本身，而不仅仅是均值，控制着阈值区间的 Eddington 偏差以及任何下游通量限制或源计数修正的精度。因此，我们在分布层面上开展工作。在标准正则性下，拟合源处的 $\Delta C$ 条件分布具有清晰的特征——对于三参数单源拟合，它是自由度为 $\nu=3$ 的非中心卡方分布，在高信号极限下可以很好地用高斯分布近似——其均值和方差均可以闭式形式计算。然而，管道报告的检测似然统计量是 $\Delta C$ 的非线性不完全伽马变换，因此不是高斯的；在阈值附近对报告的统计量进行截断会选择性地截断一个非高斯分布，而这正是灵敏度图和源计数修正最容易受到 Eddington 偏差影响的区间。

在跨越 17 个 PN band-4 探测器位置、包含约 $8 \times 10^5$ 次拟合的自洽参考拟合器模拟中，高信号区间内预测的条件均值和 Fisher 投影方差分别与模拟结果在 0.07 $\sigma$ 和约 5% 以内匹配（第 4 节）。工作阈值带位于较低的拟合信号处，此时渐近理论带有剩余的低信号偏置，且独立 SAS emldetect 相比于参考拟合引入了与实现相关的残差；两者都被吸收进一个经验的、与位置相关的残差校准中（第 5 节）。最终得到的灵敏度极限方程（第 6 节）在 $\mathtt{DET\_ML}=6$ 处能够重现地面真值限制振幅，其误差在 11%（首选的二维插值）和 17%（最近邻回退）以内，且在测试的背景范围 $b=0.02\text{--}0.08$ 内表现出微弱的背景依赖性。

可观测量条件化原则在第 2 节中阐述，三参数 $\Delta C$ 理论在第 3 节中推导。第 4–6 节分别涵盖了参考拟合器验证、独立 emldetect 阈值校准以及灵敏度图配方。第 7 节罗列了该结果的已验证和未验证领域。

可观测量条件化的残差

中心统计对象是可观测量空间中 $\Delta C$ 的条件期望，

$$E[\Delta C | \widehat{S}, b, \mathrm{psf}, \mathrm{mask}],$$

其中 $\widehat{S}$ 是拟合源幅度， $b$ 是以每像素计数为单位的局部背景， $\mathrm{psf}$ 是拟合模型所使用的像素化 PSF 模板， 而 $\mathrm{mask}$ 是拟合所包含的图像区域。第 3 节对此期望进行了解析推导；第 5 节将其转化为可操作的独立 emldetect 阈值校准，而第 6 节将其转化为灵敏度图配方。图 1 总结了这一逻辑。

为什么条件变量是 S_hat 而不是 S_true — Why the conditioning variable is S_hat, not S_true

在模拟中，注入的源强度 $S_\mathrm{true}$ 是已知的，并且相比于 $\widehat{S}$ 能给出更清晰的诊断图，但它不是探测理论中可用的条件变量：在每个真实图像以及每个 emldetect 源表中，$S_\mathrm{true}$ 都是缺失的，且在构建灵敏度图时也是不可用的。在不注入使用场景中并不存在的信息的情况下，以 $S_\mathrm{true}$ 为条件的理论无法应用于真实探测或假源恢复测试。贯穿全文，$S_\mathrm{true}$ 仅表示模拟生成标签，而 $\widehat{S}$ 是条件变量。以 $S_\mathrm{true}$ 为条件的结果测试了模型在已知注入通量下的行为是否合理；以 $\widehat{S}$ 为条件的结果测试了它在探测拟合后是否可以使用。只有后者与独立 emldetect 灵敏度图工作相关。

残差分解

对于每个源或假源试验，理论预测是在观测到的拟合量处进行评估的：

$$\mu_{3p,i} = E_{\mathrm{theory}}[\Delta C | \widehat{S}_i, b_{i}, \mathrm{\mathrm{psf}}_i, \mathrm{\mathrm{mask}}_i],$$

残差为：

$$R_{i} = \Delta C_{i} - \mu_{3p,i}$$

对于一个样本或 bin：

$$\begin{aligned} \mathrm{mean}(\Delta C) &= \mathrm{mean}(R) + \mathrm{mean}(\mu_{3p}), \\ \mathrm{Var}(\Delta C) &= \mathrm{Var}(R) + \mathrm{Var}(\mu_{3p}) + 2 \mathrm{Cov}(R, \mu_{3p}) \end{aligned}$$

只有当 $\mu_{3p}$ 在整个 bin 内近似为常数时，观测到的 $\Delta C$ 宽度才会简化为 $\mathrm{Var}(R)$；否则，混合 $S$ 或混合位置样本会引入视在方差效应，这些效应并不是条件理论的属性。单 $S$ 残差 bin 显示 $\sigma^2_{3p}$ 在轴上接近正确，而在离轴位置处偏低。

阈值被转换为 DeltaC，而不是根据观测到的 DET_ML 进行筛选

DET_ML 是 $\Delta C$ 的非线性单调尾概率变换，

$$\mathrm{DET\_ML} = -\ln(\mathrm{gammaincc}(\nu/2, \Delta C/2)),$$

对于单源三参数拟合，$\nu=3$ 且 $\mathrm{shape}=1.5$。因此，$\Delta C$ 中的高斯残差在 DET_ML 中不再是高斯的，而在观测到的 DET_ML 上进行筛选则是对正在测量其分布的同一个带噪量进行筛选——它截断了残差分布并在阈值附近使其均值向上偏置。因此，阈值范围被转换为 $\Delta C$：

$$\begin{aligned} \mathrm{DET\_ML}&=6 \rightarrow \Delta C=14.338539, \\ \mathrm{DET\_ML}&=8 \rightarrow \Delta C=18.570072, \\ \mathrm{DET\_ML}&=10 \rightarrow \Delta C=22.755959, \end{aligned}$$

并作为理论或预测的 $\Delta C$ 条件（例如 $\mu_{3p,\rm ref}\in[\Delta C_\mathrm{ML6},\Delta C_\mathrm{ML10}]$），或者作为典型预测 $\Delta C$ 落在该区间内的 $\widehat{S}$ bin。这使得条件化独立于 $\Delta C_\mathrm{eml}$ 中观测到的随机涨落。

三参数 DeltaC 理论

下面给出了标准单源 PSF 拟合（一个自由振幅和两个自由位置坐标）下 $\Delta C$ 的条件均值和近似方差的闭式形式推导。

像素化 Poisson 模型

考虑一个包含以 $i$ 索引的像素的拟合区域。观测到的计数是独立的 Poisson 随机变量，

$$Y_{i} \sim Poisson(\mu_i)$$

对于局部已知背景上的单个源，拟合源模型为

$$\begin{aligned} \\mu_i(\theta) &= b_{i} + S p_{i}(x, y), \\ \theta &= (S, x, y) \end{aligned}$$

这里 $b_i$ 是像素 $i$ 中的背景期望，$S$ 是与图像模型使用相同单位的源振幅，而 $p_i(x,y)$ 是平移到位置 $(x,y)$ 的像素化 PSF 模板。在当前的 PN band-4 验证运行中，$b_i$ 通常是拟合区域内的常数 $b$，但该符号表示允许背景按像素变化。

二进制拟合掩模 $M_i$ 选择拟合中包含的像素：

$$\begin{aligned} M_{i} &= 1 \quad \text{included in the fit} \\ M_{i} &= 0 \quad \text{excluded from the fit} \end{aligned}$$

该掩模代表所采用的拟合 footprint，例如在独立 emldetect 阈值校准中使用的 ‘ecut=15‘ 像素裁剪。对于分数掩模存在加权掩模扩展，但本文的主要结果使用二进制掩模。

Cash 统计量与 DeltaC 符号约定

忽略与模型参数无关的常数，Cash 统计量为

$$C(\theta) = 2 \sum_i M_{i} [ \\mu_i(\theta) - Y_{i} \log \\mu_i(\theta) ]$$

零模型（null model）是仅有背景的模型，

$$\mu_{i,0} = b_{i}$$

似然比 Cash 改进为

$$\Delta C = C_{\mathrm{null}} - C_{\mathrm{best}}$$

在此符号约定下，更好的源拟合会给出正的 $\Delta C$。在固定的拟合模型 $\mu_i$ 处，该统计量可以写为

$$\Delta C = 2 \sum_i M_{i} [ b_{i} - \mu_i + Y_{i} \log(\mu_i / b_{i}) ]$$

这是随后转换为 SAS ‘DET_ML‘ 的量。本文从不使用目录列约定（其中存储的辅助量可能表示 $\Delta C/2$）；这里的理论 $\Delta C$ 是完整的 Cash 差值 $C_\mathrm{null} - C_\mathrm{best}$。

固定拟合结果处的条件均值

可观测量条件化理论在拟合结果处评估矩

$$\begin{aligned} \widehat{\theta} &= (\widehat{S}, \widehat{x}, \widehat{y}), \\ \mu_i &= b_{i} + \widehat{S} p_{i}(\widehat{x},\widehat{y}) \end{aligned}$$

该拟合模型的 Asimov 图像为 $Y_i = \mu_i$。将其代入 Cash 改进中，得到条件均值

$$\mu_{3p}(\widehat{S},b,\mathrm{psf},\mathrm{mask}) = 2\sum_i M_i\left[\mu_i\ln\left(\frac{\mu_i}{b_i}\right)-(\mu_i-b_i)\right] \label{eq:mu3p}$$

对于常数背景 $b_i=b$ 和归一化的 PSF $p_i$，这是在 deltac_moments_3param 中实现的表达式：

$$\begin{aligned} \mu_{3p} \\ &= 2 \sum_i M_{i} [ (b + \widehat{S} p_{i}) \log((b + \widehat{S} p_{i})/b) \\\ - \widehat{S} p_{i} ]\\ \end{aligned}$$

该均值通过全像素求和依赖于像素化 PSF 和掩模。它不仅是高斯宽度或低阶 PSF 矩的函数，尽管这些总结量可以作为有用的诊断工具。

线性化 score 约束

最佳拟合参数满足 score 方程。对于 $\theta_a \in (S,x,y)$ 中的任何拟合参数，

$$dC/d\theta_a = 0$$

在拟合模型周围进行线性化，写为

$$\begin{aligned} Y_{i} &= \mu_i + \eta_i, \\ E[\eta_i] &= 0, \\ \mathrm{Var}(\eta_i) &= \mu_i \end{aligned}$$

一阶 score 约束为

$$\sum_i M_{i} (d\mu_i/d\theta_a) \eta_i / \mu_i = 0$$

共有三个这样的约束：

$$\begin{aligned} d\mu_i/dS &= p_{i}, \\ d\mu_i/dx &= \widehat{S} dp_i/dx, \\ d\mu_i/dy &= \widehat{S} dp_i/dy \end{aligned}$$

这些约束是三参数拟合不等同于简单的无约束 Poisson 求和的原因。沿着拟合振幅和位置方向的涨落会被拟合所吸收，并在计算残差方差时必须被投影掉。

投影前的 DeltaC 残差方差

在固定的拟合模型处，$\Delta C$ 的一阶随机部分为

$$R_{\mathrm{linear}} = 2 \sum_i M_{i} \eta_i \log(\mu_i / b_{i})$$

如果拟合参数不受 score 方程的约束，则该线性残差的方差将为

$$\begin{aligned} var_unconstrained \\ &= 4 \sum_i M_{i} \mu_i \log^2(\mu_i / b_{i}) \end{aligned}$$

此项作为诊断工具是有用的，但并不是拟合似然比的最终方差公式。它忽略了 $S$、$x$ 和 $y$ 是为了最大化似然而被选择的这一事实。

三个拟合参数的 Fisher 投影

定义三个拟合参数的 Fisher 信息矩阵：

$$I_{ab} = \sum_i M_{i} (d\mu_i/d\theta_a)(d\mu_i/d\theta_b) / \mu_i$$

对于 $\theta=(S,x,y)$，其各元素为

$$\begin{aligned} I_{SS} &= \sum_i M_{i} p_{i}^2 / \mu_i \\ I_{Sx} &= \sum_i M_{i} \widehat{S} p_{i} (dp_i/dx) / \mu_i \\ I_{Sy} &= \sum_i M_{i} \widehat{S} p_{i} (dp_i/dy) / \mu_i \\ I_{xx} &= \sum_i M_{i} \widehat{S}^2 (dp_i/dx)^2 / \mu_i \\ I_{xy} &= \sum_i M_{i} \widehat{S}^2 (dp_i/dx)(dp_i/dy) / \mu_i \\ I_{yy} &= \sum_i M_{i} \widehat{S}^2 (dp_i/dy)^2 / \mu_i \end{aligned}$$

$\Delta C$ 残差与 score 方向 $\theta_a$ 之间的协方差由下式编码：

$$g_{a} = \sum_i M_{i} \log(\mu_i/b_{i}) (d\mu_i/d\theta_a)$$

具体而言，

$$\begin{aligned} g_{S} &= \sum_i M_{i} p_{i} \log(\mu_i/b_{i}) \\ g_{x} &= \sum_i M_{i} \widehat{S} (dp_i/dx) \log(\mu_i/b_{i}) \\ g_{y} &= \sum_i M_{i} \widehat{S} (dp_i/dy) \log(\mu_i/b_{i}) \end{aligned}$$

在高斯/Fisher 近似下，以拟合 score 约束为条件会减去残差在拟合参数子空间上的投影。得到的方差为

$$\sigma^2_{3p} = 4\left[\sum_i M_i\mu_i\ln^2\left(\frac{\mu_i}{b_i}\right) - g^T I^{-1}g\right] \label{eq:var3p}$$

这是 lib/fit_mask_3param.py 中 fitposition=True 的公式。如果移除位置方向并仅拟合 $S$，该公式将退化为仅振幅的单参数表达式。

Schur 补实现

代码使用分块逆来评估三参数投影。写入

$$\begin{aligned} I &= [[I_{SS}, H], \\ [H^T, K]] \end{aligned}$$

其中 $H$ 包含 $S$ 与位置的交叉项，$K$ 是 $x$ 和 $y$ 的 $2\times2$ 位置分块。那么

$$\begin{aligned} g^T I^{-1} g \\ &= (g_{S} - H K^{-1} g_{pos})^2 / (I_{SS} - H K^{-1} H^T) \\\ + g_{pos}^T K^{-1} g_{pos} \end{aligned}$$

这在代数上等价于对整个 $3\times3$ Fisher 矩阵求逆，但它使位置投影显式化，并且在数值计算上便于处理大量的 $S$ 和 $b$ 值网格。

掩模与加权掩模约定

对于二进制掩模，上述求和仅针对 $M_i=1$ 的像素运行。这是当前 PN band-4 独立 emldetect 校准所使用的主要约定。

对于分数权重 $w_i$，加权统计量为

$$\Delta C_{w} = 2 \sum_i w_{i} [ b_{i} - \mu_i + Y_{i} \log(\mu_i/b_{i}) ]$$

相应的方差在 Poisson 方差和 score 协方差项中使用了 $w_i^2$。因此，weighted_deltac_moments_3param 中的加权实现使用

$$4 \sum_i w_{i}^2 \mu_i \log^2(\mu_i/b_{i})$$

以及加权 Fisher 投影。当权重恰好为 0 或 1 时，加权实现将重现二进制掩模公式。本文并不声称已重现了所有的 SAS 内部掩模约定；它使用经过验证的二进制约定来进行所述的独立 emldetect 校准。

DET_ML 约定

本论文使用 SAS/emldetect 自然对数约定：

$$\mathrm{DET\_ML} = -\ln(\mathrm{gammaincc}(\nu/2, \Delta C/2))$$

对于具有三个拟合参数的单幅图像，卡方自由度为

$$\begin{aligned} \nu &= 3, \\ \mathrm{shape} &= \nu/2 = 1.5 \end{aligned}$$

因此

$$\mathrm{DET\_ML} = -\ln(\mathrm{gammaincc}(1.5, \Delta C/2))$$

gammaincc 的第二个参数是 $\Delta C/2$，而不是 $\Delta C$。该对数是自然对数，而不是 $\log_{10}$。反向转换公式为

$$\Delta C = 2\,\mathrm{gammainccinv}\left(1.5, \exp(-\mathrm{DET\_ML})\right) \label{eq:detml-inverse}$$

这在 lib/detml.py 中以 $\nu=3$ 实现。

用于灵敏度图区间的阈值为

$$\begin{aligned} \mathrm{DET\_ML}&=6 \rightarrow \Delta C=14.338539 \\ \mathrm{DET\_ML}&=8 \rightarrow \Delta C=18.570072 \\ \mathrm{DET\_ML}&=10 \rightarrow \Delta C=22.755959 \end{aligned}$$

这些值定义了所关注的 $\Delta C$ 频带。它们并不是用于测量条件分布的观测 DET_ML 筛选值。

方差近似的有效性范围

方差表达式 $\sigma^2_{3p}$ 是拟合模型周围的局部高斯/Fisher 近似。当似然表面接近二次型，且拟合源足够强以至于位置优化不会吸收孤立的 Poisson 噪声特征时，该近似被预期是准确的。修正后的单 $S$ 方差诊断总结在图 2 中。

自洽参考拟合器验证

第 3 节的预测在一台自洽的参考拟合器上得到了验证，其中源注入、源拟合以及理论矩计算均使用相同的 psfgen 模板 PSF 族。该测试将 $\Delta C$ 理论本身隔离出来；独立 SAS emldetect 将在第 5 节中单独处理。

仿真设计

参考验证使用 I044 高统计量 psfgen 模板仿真：

instrument: PN
band: band 4
positions: 17
S_true grid: 8 values
b grid: 6 values
repetitions: 1000 per cell
total rows: 816,000
clean rows: 811,194

每个模拟源均使用三参数 Poisson 似然拟合器进行拟合。对于每一行，均在拟合源强度处评估理论值：

$$\begin{aligned} \mu_{3p} &= E[\Delta C | S_{\mathrm{fit}}, b, \mathrm{psf}, \mathrm{mask}], \\ \sigma^2_{3p} &= \mathrm{Var}[\Delta C | S_{\mathrm{fit}}, b, \mathrm{psf}, \mathrm{mask}] \end{aligned}$$

诊断残差为

$$Z = (\Delta C_{\mathrm{obs}} - \mu_{3p}) / \sqrt{\sigma^2_{3p}}$$

这是一个以可观测量为条件的验证，因为预测使用的是拟合振幅 $S_\mathrm{fit}$，而不是注入振幅 $S_\mathrm{true}$。这里的 $S_\mathrm{fit}$ 是仿真表中拟合振幅的名称；它与理论章节中表示的可观测物理量 $\widehat{S}$ 相同。

高信号（High-S）闭合

对于 $S_\mathrm{fit} > 20$，自洽的参考拟合器在论文理论主张所需的水平上实现了闭合：

自洽参考拟合器闭合总结。

更强的 $S_\mathrm{fit} > 50$ 子集更接近零均值和单位宽度。这是高信号区间内 Fisher/高斯近似的预期渐近行为。

图 3 是主要的理论证明图。它显示了元胞平均的 $\Delta C_\mathrm{obs}$ 遵循 $\mu_{3p}$，低 $S$ 偏置与 $S_\mathrm{fit} > 20$ 的闭合区间清晰分离，高 $S$ 标准化残差接近标准正态分布，且该闭合在探测器位置之间保持稳定。表 [tab:high-s-closure] 给出了相应的数值总结。

低信号（Low-S）beyond-Fisher 偏置

同样的验证表明，该理论在低拟合信号处并非一致闭合。低 $S$ 区间具有正的残差偏置：

自洽参考拟合器中的低信号 beyond-Fisher 偏置。

这就是 beyond-Fisher 区间。位置优化会吸收正的 Poisson 噪声特征，导致似然表面很难通过局部二次展开来近似。这种偏置并不是网格人为产物；v2/v10b 审计将其确定为低拟合信号下高斯/Fisher 近似的真实局限性。

使用 $(S_\mathrm{fit},\,b,\,A_2,\,W_\mathrm{eff})$ 的 m2 仿真修正模型——其中 $A_2$ 是局部 PSF 二阶矩，而 $W_\mathrm{eff}$ 是有效 PSF 翼部特征（winginess）参数，两者均推导自与位置相关的 psfgen 模板——将留一位置交叉验证的差情况残差降低到大约 0.095 $\sigma$。这可以作为低 $S$ 理论误差的诊断工具。它并不是独立的 emldetect 灵敏度图配方，因为独立 emldetect 具有额外的实现残差。

图 4 展示了 beyond-Fisher 低 $S$ 偏置和 m2 修正诊断。

为什么 ML~10 区间不被高 S 闭合覆盖

我们关注的灵敏度图区间是 DET_ML 在 6–10 左右。在单幅图像三参数 SAS 约定下，

$$\begin{aligned} \mathrm{DET\_ML}&=6 \rightarrow \Delta C=14.338539 \\ \mathrm{DET\_ML}&=8 \rightarrow \Delta C=18.570072 \\ \mathrm{DET\_ML}&=10 \rightarrow \Delta C=22.755959 \end{aligned}$$

对于当前 PN band-4 且 $b=0.04$ 的设置，这大致对应于 $\widehat{S}\sim 7.5\text{--}12.1$。这低于 $S_\mathrm{fit} > 20$ 的高 $S$ 验证范围。因此，高 $S$ 闭合不能单独用作 $\mathtt{DET\_ML}\sim 10$ 灵敏度图的误差预算。

阈值带的问题则不同。它探究在考虑了低 $S$ 理论偏置和独立 emldetect 实现效应后，能以多大的精度恢复所需的 $\Delta C_\mathrm{th}$ 所对应的源振幅 $S_\mathrm{lim}$。该可操作的校准是第 5 节的主题。

闭式全局修正

上述低信号偏置可以用紧凑的闭式形式描述。在可观测量空间中，按 $\widehat{S}$ 对参考拟合器输出分箱（使用 $\widehat{S}>4$ 来约束低信号端），跨全部 17 个位置和 6 个背景，均值残差和残差散射比都可以由一个 $(\widehat{S},b)$ 表达式很好地描述。这些全局表达式从经验上支持以下解释：超出 Fisher 的残差是 $(\widehat{S},b)$ 的一个光滑、低维函数，且不存在显著的离轴依赖（第 4.6 节）。这种光滑性激发了第 5 节中部署的经验网格插值策略：如果残差是混乱或高维的，稀疏网格插值将失败。然而，这些具体的闭式全局修正严格来说仍是诊断性的，并不直接用于最终的操作校准。独立 emldetect 校准将所有低信号偏置和实现特定效应完全吸收到经验 $R_\mathrm{eml}$ 网格中。

条件均值被加法性地修正：

$$\mu_{3p}^\mathrm{corr}(\widehat{S},b) = \mu_{3p}(\widehat{S},b,\mathrm{psf},\mathrm{mask}) + \big(a_\mu + c_\mu\log_{10}b\big)\,\widehat{S}^{-p_\mu}, \label{eq:mean-corr}$$

其中 $a_\mu=0.59\pm0.12$，$c_\mu=-1.02\pm0.10$，$p_\mu=0.40\pm0.05$（不确定性来自位置级 bootstrap，见下文），残差散射被乘法性地修正：

$$\sigma_C^\mathrm{corr}(\widehat{S},b) = \sqrt{\sigma^2_{3p}}\; \Big[\,1-\frac{a_\sigma + c_\sigma\log_{10}b}{\widehat{S}}\,\Big], \label{eq:sigma-corr}$$

其中 $a_\sigma=1.49\pm0.04$，$c_\sigma=0.39\pm0.03$。散射修正具有 $1/\widehat{S}$ 低信号赤字的形式，该赤字在渐近极限下消失，在高拟合信号处返回 Fisher 投影方差。方程 ([eq:sigma-corr]) 将经验-理论 $\sigma_C$ 比的 bin 级散射从 $0.074$（未修正）降低到 $0.049$，其残差与每 bin 散射估计的 Monte Carlo 不确定性一致。在最高背景（$b=0.16\,\mathrm{counts\,pixel^{-1}}$）和最低拟合信号处，仍有轻微的残差，其中经验赤字在 $\widehat{S}$ 上比全局形式更平坦；该区间远低于 $\DETML=6$ 检测阈值，不影响经过验证的运行范围。

修正的离轴独立性

方程 ([eq:mean-corr])–([eq:sigma-corr]) 中的两个修正仅依赖于拟合振幅和背景。在散射模型中加入线性离轴项 $d\,\theta$ 基本不改变拟合质量（$d=-5\times10^{-3}$ 每角分；均方根残差在三位小数内不变），并且经验 $\sigma_C$ 比在完整的 $0$–$14'$ 离轴范围内平坦在 $0.92$–$0.93$。因此，明显的"远轴"方差偏移并非离轴效应：它是方程 ([eq:sigma-corr]) 的低 $\widehat{S}$ 赤字，因为那些位置采样了更大比例的低 $\widehat{S}$ 拟合，所以在离轴环中更明显地显现出来。在经过验证的域中，单一 $(\widehat{S},b)$ 修正足以适用于所有探测器位置。

系数在用于拟合的探测器位置数目变化下保持稳定。位置级 bootstrap（对 17 个位置进行有放回重采样，400 次实现）恢复了上文引用的中心值，并为方程 ([eq:mean-corr])–([eq:sigma-corr]) 给出的不确定性提供了依据。对固定大小 $k$ 的随机位置子集进行重采样会使中心系数在散射内保持不变，并将其散布按 $k^{-1/2}$ 收缩，表明这些位置独立地采样修正且不存在系统性离轴趋势。

高信号渐近闭合的局限性与经验校准的作用

我们关注的灵敏度图区间是 $\DETML$ 在 6–10 左右，对应于 $\Delta C \approx 14.3$–$22.8$。对于当前 PN band-4 且 $b=0.04\,\mathrm{counts\,pixel^{-1}}$ 的设置，这大致对应于 $\widehat{S}\sim 7.5$–$12.1$。这严格低于 $\widehat{S} > 20$ 的高信号验证范围。因此我们明确声明：第 4.2 节的高信号渐近闭合并不直接在操作上应用的阈值带中验证该理论。 在该低信号区间，阈值带残差 $R_\mathrm{eml}$ 通过纯经验插值处理。

物理上，$R_\mathrm{eml}$ 来源于三个方面：(i) $\Delta C$ 理论本身在 $S=0$ 边界附近的超出 Fisher 偏置，其中非负性约束违反了 Wilks 定理的内部点假设；(ii) 独立 emldetect 的实现特定伪影，包括其内部优化器、PSF 采样和数值离散化细节；(iii) 理论中使用的 $\mathtt{ecut}=15$ 拟合 footprint 与 pipeline 实际应用的掩模之间的差异。虽然 $R_\mathrm{eml}$ 原则上作为 $S$ 的函数，但它在狭窄的阈值带（$\widehat{S} \sim 7$–$12$）中变化足够缓慢，因此可以鲁棒地近似为每个位置的标量偏移。

一种标准的 Monte Carlo 假源注入方法（例如 esensmap 模拟模式）将自动捕获所有这些效应：只需在每个天空位置和背景水平注入源，运行完整 pipeline，并以数值方式列表化检测分数。这种方法由于不作理论近似而提供卓越的绝对精度。然而，对于在巡天规模灵敏度图中遇到的完整背景、离轴角和 PSF 几何范围上的连续天空映射，它在计算上是不可承受的。 因此大型现代巡天通常依赖于广泛的端到端模拟来表征完备性、纯净度和选择阈值，如 eROSITA eFEDS 源检测校准 (Brunner 等 2022; Liu 等 2022) 即是如此。

第 3 节理论的科学价值在于，它提供了可观测量条件化 $\Delta C$ 期望的正确函数形式，因为背景、PSF 几何和掩模在探测器上连续变化。通过将计算锚定到确定性理论均值 $\mu_{3p}$，操作校准只需在稀疏网格上经验地确定缓慢变化的标量残差 $R_\mathrm{eml}$。这种混合方法（解析主干加上经验残差校准）牺牲了完整 Monte Carlo 的绝对精度（在第 5 节报告的 $S_\mathrm{lim}$ 恢复误差为 11–17%），但避免了密集假源注入在每个天空位置上的极端计算成本。该操作校准是第 5 节的主题。

独立 emldetect 阈值校准

独立 SAS emldetect 使用其自身的源拟合、优化器和 PSF/模型约定；这些实现细节产生了相对于第 3 节中推导出的参考理论的与位置相关的残差。下面针对阈值区间 $\texttt{DET\_ML}=6\text{--}10$ 构建了一个吸收了该偏差的经验性的、与位置相关的残差校准，这适用于独立假源灵敏度图工作。

为什么独立 emldetect 需要单独的残差

原始理论预测为

$$\mu_{3p}(S,b,\mathrm{psf},\mathrm{mask}) = E[\Delta C | S,b,\mathrm{psf},\mathrm{mask}]$$

如果独立 emldetect 与该模型完全匹配，则可以通过求解下式找到阈值极限：

$$\mu_{3p}(S_{\mathrm{lim}},b,\mathrm{psf},\mathrm{mask}) = \Delta C_{\mathrm{th}}$$

在实践中，这种零残差配方在阈值带内仅仅是一个处于临界状态（borderline）的近似。在 v13b 验证中，原始配方 O0 在 $\texttt{DET\_ML}=6$ 处的最大 $S_\mathrm{lim}$ 误差为 19.9%，在 $\texttt{DET\_ML}=8$ 处为 15.6%，在 $\texttt{DET\_ML}=10$ 处为 13.3%。该误差与位置相关，而不是一个单一的标量偏置。

完全可观测量条件化的独立 emldetect 闭合失效情况展示在图 5 中。图 6 表明增加探测器 footprint 变体并不能消除离轴偏置。

因此，我们定义独立 emldetect 残差为：

$$R_{\mathrm{eml}} = \Delta C_{\mathrm{eml}} - \mu_{3p}(\widehat{S}_{\mathrm{eml}},b,\mathrm{psf},\mathrm{mask}) \label{eq:reml}$$

这里 $\Delta C_\mathrm{eml}$ 是按单幅图像 $\nu=3$ 约定转换后的独立 emldetect Cash 改进，而 $\widehat{S}_\mathrm{eml}$ 是拟合出的 emldetect 源振幅。校准后的阈值方程为：

$$\mu_{3p}(S_{\mathrm{lim}},b,\mathrm{psf},\mathrm{mask}) = \Delta C_{\mathrm{th}} - \widehat{R}_{\mathrm{eml}} \label{eq:sensitivity-limit}$$

该符号直接来自于残差的定义。如果 $\widehat{R}_\mathrm{eml}>0$，独立 emldetect 在相同拟合源强度下产生的 $\Delta C$ 大于原始理论，因此灵敏度极限所需的理论阈值较低。如果 $\widehat{R}_\mathrm{eml}<0$，则所需的源振幅较高。

阈值带校准样本

校准使用成对的假源仿真，其中每个实现均由参考拟合器和独立 SAS emldetect 进行分析。当前生产网格具有 14 个 PN band-4 校准位置；P3 因探测器边缘异常而被排除。

目标阈值带在 $\Delta C$ 空间中定义：

$$\begin{aligned} \mathrm{DET\_ML}&=6 \rightarrow \Delta C=14.338539 \\ \mathrm{DET\_ML}&=8 \rightarrow \Delta C=18.570072 \\ \mathrm{DET\_ML}&=10 \rightarrow \Delta C=22.755959 \end{aligned}$$

根据参考理论预测来筛选行：

$$\mu_{3p,\mathrm{ref}} in [\Delta C_{\mathrm{ML6}}, \Delta C_{\mathrm{ML10}}]$$

这非常重要。阈值样本不是通过观测到的 $\texttt{DET\_ML}_\mathrm{eml}$ 筛选的，也不是通过观测到的 $\Delta C_\mathrm{eml}$ 筛选的，因为这些量带有我们试图校准的随机涨落和实现残差。该筛选是基于可观测量条件化理论中的预测/参考 $\Delta C$。

基准校准网格建立在：

$$b = 0.04 counts/pixel$$

背景向 $b=0.02$ 和 $b=0.08$ 的转移在第 5.6 节中单独测试。

配方定义

我们比较了四种配方。

O0: 原始理论。
设 $\widehat{R}_\mathrm{eml}=0$ 并求解

$$\mu_{3p}(S_{\mathrm{lim}}) = \Delta C_{\mathrm{th}}$$

这测试了在没有独立 emldetect 校准的情况下是否可以使用该理论。

O4-global: 标量残差修正。
对所有位置使用单一均值 $R_\mathrm{eml}$。这测试了独立 emldetect 残差是否可以作为全局偏置处理。

O4-lin: 与位置相关的二维线性插值。
在生产坐标 $\texttt{sector\_phi}$ 上通过线性插值估计 $\widehat{R}_\mathrm{eml}$，限制在校准网格凸包内部的留出位置上。

O4-nn: 最近邻 fallback。
从同一坐标空间中最近的校准位置估计 $\widehat{R}_\mathrm{eml}$。这是对落在 O4-lin 凸包之外的位置的 fallback 方案。

生产坐标为：

$$(offaxis_arcmin, sector_phi)$$

sector_phi 是具有四个象限编码（0, 90, 180, 270 度）的校准分块坐标。它不是物理探测器方位角。物理上定义的 DETX/DETY 坐标被保留作为参考和未来工作的坐标，但 v15 表明它尚未达到生产就绪状态。

Leave-one-position-out validation

验证使用留一位置交叉验证 (LOPO)：每个位置都被留出，从剩余位置构建校准，并将预测 of $S_\mathrm{lim}$ 与留出位置自身的已校准真值进行比较。报告的误差为

$$||S_{\mathrm{lim,pred}} - S_{\mathrm{lim,true}}| / S_{\mathrm{lim,true}}$$

在生产坐标中的结果为：

主要结论是：

• O0 仅可用作粗略的 fallback。它在 $\texttt{DET\_ML}=6$ 处处于临界状态。

• O4-global 在 $\texttt{DET\_ML}=6$ 处失败，因此单一的标量修正是不足够的。

• O4-lin 是凸包内首选的插值方法。

• O4-nn 是全位置 fallback 方案，并在当前的 14 位置校准集中通过了 20% 的限度网格。

O0 在 $\texttt{DET\_ML}=8$ 和 $\texttt{DET\_ML}=10$ 处通过了 20% 的限度网格，但在灵敏度图带宽中要求最严格的边缘是 $\texttt{DET\_ML}=6$。在这个位置，O0 仅处于临界状态而 O4-global 失败，从而激发了与位置相关的 O4-lin/O4-nn 残差校准。

对于 $\texttt{sector\_phi}$ 中的 O4-lin，凸包外的四个留出位置是 $\texttt{P1}$、P8$、\texttt{P12}$ 和 $\texttt{P16}$。这些位置需要使用 O4-nn fallback。

图 7 和表 [tab:v13b-recipe] 将这一配方比较作为主要的工作结果呈现。

坐标决策

在 v13b 中测试了三种坐标选择：

因此，生产选择是 sector_phi，并带有强制性警告：

$$\begin{aligned} sector_phi is sector-coded and should not be interpreted as physical detector \\ azimuth \end{aligned}$$

该选择是出于实用考虑。虽然 DETX/DETY 在物理上具有更好的依据，但稀疏网格并未给出足够的 O4-lin 覆盖范围。v15 测试了更密的 DETX/DETY 网格是否能解决此问题，结果未能通过当前的生产限度网格，详见第 5.7 节。

背景转移

生产网格在 $b=0.04$ 处校准。为了测试相同网格是否可以在有限背景范围内使用，v13b 将 $b=0.04$ 网格应用于 $b=0.02$ 和 $b=0.08$ 处的成对仿真。

与 LOPO 插值误差相比，转移误差非常小。适合写入论文的严谨表述为：

R_eml 在 b=0.02–0.08 之间具有微弱的背景依赖性，测试的最大 S_limit 转移误差为 5.7%。

将该校准称为完全的背景无关是不正确的。图 8 形象地展示了相同的背景转移验证。

稠密 DETX/DETY 测试作为负面结果

A 坐标直接在 DETX/DETY 上进行校准在物理上会比 sector_phi 更易于解释，但第 5.5 节的稀疏网格结果在 O4-lin 凸包内部只留下了 6/14 个留出位置。因此测试了更密的 DETX/DETY 网格，以询问空间加密是否能恢复工作覆盖范围。结果是负面的：

根本原因为：

1. 凸包拓扑结构：留一位置交叉验证使得边界位置即使在增加了更多内部点的情况下仍会落在插值凸包外部。

2. emldetect 边缘失效：探测器边缘锚点失败，无法安全地扩展凸包。

3. 依赖 $S$ 的 $R_\mathrm{eml}$：几个存在问题的位置在残差上表现出与源强度强烈的变化，这违背了位置恒定残差的近似。

v15 的结果并不取代 v13b。它证明了保留 sector_phi 作为生产坐标并将 DETX/DETY 视为参考/未来工作是合理的。详细的稠密网格结果包含在表 [tab:app-v15-dense-detx-dety] 中。

统一实用灵敏度图配方

第 3 节理论与第 5 节残差校准共同产生了一个五步流程，用以在给定的探测器位置和探测阈值下评估独立 emldetect 灵敏度极限 $S_\mathrm{lim}$，该流程在上面建立的 PN band-4 单幅图像三参数域内有效。

输入和输出

对于每个探测器位置，所需的输入为：

目标 DET_ML 阈值；每像素计数背景 b；像素化 PSF 模板；二进制拟合掩模 / footprint；探测器位置元数据；R_eml 校准网格

输出为：

$$S_{\mathrm{lim}}$$

其中 $S_\mathrm{lim}$ 是在应用残差校准后，独立 emldetect 预期达到目标探测阈值所对应的拟合源振幅。

此处 $S_\mathrm{lim}$ 是期望的（即 Asimov）$\Delta C$ 等于已校准阈值所对应的源振幅。它通常并不是 50% 完备性通量。该平均阈值极限与完备性百分比极限之间的关系取决于阈值带条件 $\Delta C$ 分布，而本文并未对此分布特征进行刻画。

对于当前的 v13b 配方，经验证的领域为：

instrument: PN
band: band 4
fit: single-image, three-parameter source fit
nu: 3
background range tested: b=0.02--0.08 counts/pixel
threshold range: DET_ML=6--10
production coordinate: sector_phi

第 1 步：将 DET_ML 转换为 DeltaC

SAS/emldetect 约定为

$$\mathrm{DET\_ML} = -\ln(\mathrm{gammaincc}(\nu/2, \Delta C/2))$$

对于单幅图像三参数的情况：

$$\begin{aligned} \nu &= 3 \\ \mathrm{shape} &= 1.5 \end{aligned}$$

因此阈值反向转换公式为

$$\Delta C_{\mathrm{th}} = 2 \, \mathrm{gammainccinv}(1.5, \exp(-\mathrm{DET\_ML}))$$

实际使用的阈值为：

灵敏度图配方使用的 SAS 单幅图像三参数阈值转换。

该转换必须使用 $\Delta C / 2$ 作为 $\texttt{gammaincc}$ 的第二个参数。它必须使用自然对数约定。不再使用旧的 $\texttt{shape}=2.5$ 转换。

第 2 步：构建局部理论函数

在所关注的探测器位置，构建局部 PSF 和拟合掩模。理论函数为

$$\mu_{3p}(S,b,\mathrm{psf},\mathrm{mask}) = E[\Delta C | S,b,\mathrm{psf},\mathrm{mask}]$$

对于二进制掩模，这为像素求和

$$\begin{aligned} \mu_{3p}(S,b,\mathrm{psf},\mathrm{mask}) \\ &= 2 \sum_i M_{i} [ (b + S p_{i}) \log((b + S p_{i})/b) - S p_{i} ]\\ \end{aligned}$$

PSF 应使用与校准网格相同的约定进行归一化。在当前的 v13b 配方中，掩模是成对独立 emldetect 仿真所使用的 15 像素拟合 footprint。代码中存在加权掩模变体，但此处描述的生产配方使用经过验证的二进制掩模约定。

第 3 步：估计独立 emldetect 残差

残差校准网格在阈值带内存储：

$$R_{\mathrm{eml}} = \Delta C_{\mathrm{eml}} - \mu_{3p}(\widehat{S}_{\mathrm{eml}},b,\mathrm{psf},\mathrm{mask})$$

生产插值坐标为

$$(offaxis_arcmin, sector_phi)$$

sector_phi 是校准分块编码，而不是物理探测器方位角。对于当前的 14 位置网格，O4-lin 插值覆盖了 10/14 个留出位置。凸包外的位置为

$$P1, P8, P12, P16$$

插值规则为：

if query point lies inside the sector_phi convex hull:
    use O4-lin
else:
    use O4-nn fallback

该 fallback 方案在当前的稀疏网格生产使用中是必需的。虽然 O4-nn 在凸包内部并不是首选插值器，但它是经过验证的全位置 fallback 方案。

第 4 步：求解 S_limit

校准后的阈值方程为：

$$\mu_{3p}(S_{\mathrm{lim}},b,\mathrm{psf},\mathrm{mask}) = \Delta C_{\mathrm{th}} - \widehat{R}_{\mathrm{eml}}$$

等号右侧是理论参考模型中的有效 $\Delta C$ 目标值。设：

$$\Delta C_{\mathrm{eff}} = \Delta C_{\mathrm{th}} - \widehat{R}_{\mathrm{eml}}$$

然后求解

$$f(S) = \mu_{3p}(S,b,\mathrm{psf},\mathrm{mask}) - \Delta C_{\mathrm{eff}} = 0$$

v13b 验证使用了一个括号求根器：

S_limit = brentq(f, 0.1, 500.0)

不应使用近似线性公式 |dR| / dmu_dS 作为生产计算方法。这是已被废弃的 v13 错误的根源（其中 DETX/DETY 最近邻误差被高估了）。本论文的配方使用完整的非线性求解。

第 5 步：报告不确定度预算

不确定度报告应指出使用了哪种插值分支，并引用经过验证的误差范围。

对于 $\texttt{DET\_ML}=6$ 处的 sector_phi：

v13b 生产坐标在 DET_ML=6 处经过验证的不确定度预算。

对于更高阈值，插值误差减小：

v13b 配方在更高阈值下的插值误差。

推荐使用的措辞为：

在当前 sector_phi 凸包内部，使用 O4-lin 并在 ML=6 处引用经过验证的最大 S_limit 误差为 11.0%。在凸包外部，使用 O4-nn fallback 并在 ML=6 处引用经过验证的最大误差为 17.2%。

Distribution

前几节校准了 $\Delta C$ 空间中似然比统计量的行为。校准后的分布有两个目录级别的用途。第一种是解释性用途，用于传统的 $\DETML$-选定目录：目录仍可能由一个观测阈值 $\Delta C>\Delta C_\mathrm{th}$ 定义，但前向分布提供了推断相应拟合源幅度分布所需的似然。第二种用途是建设性的：可以直接在拟合幅度坐标中定义目录切割，通过要求局部 $\Delta C$ 分布的选定百分位数达到检测阈值。两种用途依赖于相同的前向核，但它们使用方向相反（表 [tab:two-catalog-uses]）。

这里 $S$ 表示可观测量条件化理论中使用的源幅度坐标，贯穿全文均使用拟合幅度惯例。它不是内在注入的通量。

图 9 给出了构建的可视化版本。传统的 $\DETML$ 阈值是 $\Delta C$ 空间中的水平切割。从该切割向后读取条件分布可以得到传统阈值选定目录的拟合幅度分布，一旦指定了源计数先验。向前读取则得到百分位数越界：通常的灵敏度图是平均越界，而较低百分位数的越界则定义了更为保守的拟合幅度阈值越界切割。独立的 emldetect 应用额外包括第 5 节中描述的管道残差校准。

The forward kernel in $\Delta C$ space

对于每个探测器位置，操作的 $\DETML$ 阈值首先转换为对应的单幅图像三参数 $\Delta C$ 阈值。例如，$\DETML=6$ 在 $\nu=3$ 约定下对应于 $\Delta C_\mathrm{th}=14.3$。然后以 $\Delta C$ 空间进行分布计算；$\DETML$ 仍仅为最终操作阈值尺度。

在校准的独立 emldetect 情形中，前向核的均值为

$$\Delta C_\mathrm{mean}(S,x,b) = \mu_{3p}(S,b,\mathrm{psf}_x,\mathrm{mask}_x) + \widehat{R}_\mathrm{eml}(x), \label{eq:mean-threshold-curve}$$

其中 $\widehat{R}_\mathrm{eml}$ 是从第 5 节校准网格插值得到的经验残差。在高斯残差近似下，局部核可总结为

$$p(\Delta C\mid S,x,b) \simeq \mathcal{N}\!\left[ \Delta C_\mathrm{mean}(S,x,b),\, \sigma_C^2(S,x,b) \right], \label{eq:deltac-forward-kernel}$$

相应的 $p$ 阶百分位曲线为

$$\Delta C_{p}(S,x,b) \simeq \Delta C_\mathrm{mean}(S,x,b) + z_p\,\sigma_C(S,x,b), \label{eq:deltac-percentile-curve}$$

其中 $z_p$ 为标准正态分位数。百分位构造除校准的均值残差外，还需要 $\Delta C$ 空间中校准的阈值带散布模型 $\sigma_C$。因此 $\Delta C_{50}\simeq \Delta C_\mathrm{mean}$，$\Delta C_{16}\simeq \Delta C_\mathrm{mean}-\sigma_C$，$\Delta C_{10}\simeq \Delta C_\mathrm{mean}-1.282\,\sigma_C$，$\Delta C_{2.3}\simeq \Delta C_\mathrm{mean}-2\,\sigma_C$。

在本概念验证应用中，我们使用第 4 节中经验校正后的散布模型作为分布骨干。Fisher 投影方差提供了解析尺度，但完整核或低百分位图的生产使用需要直接对照独立 emldetect 通过率进行验证，因为高信号参考拟合器闭合本身并不能验证 $\DETML=6$–10 阈值带。

应用 I：解释传统 $\DETML$ 选定目录

第一个应用保留传统的目录定义。源通过观测检测统计量选定，例如 $\DETML>T$，等价地 $\Delta C>\Delta C_\mathrm{th}$。新的要素是目录阈值现在可以通过公式 ([eq:deltac-forward-kernel]) 中的前向核来解释。

对于具有测量值 $\Delta C_\mathrm{obs}$ 的源，目录空间中的拟合幅度后验为

$$p(S\mid \Delta C_\mathrm{obs},x,b) \propto p(\Delta C_\mathrm{obs}\mid S,x,b)\,\pi(S), \label{eq:posterior-single-source}$$

其中 $\pi(S)$ 是以拟合幅度坐标表示的源计数先验。对于阈值选定样本，类似表达式为

$$p(S\mid \Delta C>\Delta C_\mathrm{th},x,b) \propto P(\Delta C>\Delta C_\mathrm{th}\mid S,x,b)\,\pi(S), \label{eq:posterior-threshold-selected}$$

其中

$$P(\Delta C>\Delta C_\mathrm{th}\mid S,x,b) = \int_{\Delta C_\mathrm{th}}^\infty p(\Delta C\mid S,x,b)\,d\Delta C . \label{eq:threshold-passing-probability}$$

在高斯残差近似下，此通过概率是在 $\Delta C$ 空间中求值的正态生存函数。这条路径并不取代传统的 $\DETML$ 阈值。相反，它补充了解释 $\DETML$ 选定目录拟合幅度分布所需的似然层。这也是 Eddington 偏差进入之处：噪声阈值统计量必须与源计数先验结合，特别是当底层 $dN/dS$ 陡峭时 (Eddington 1913; Georgakakis 等 2008; Wang 2004)。因此，指定的 $\DETML$ 值或阈值本身并不定义通量分布；它在 $\Delta C$ 空间中定义一个似然因子。要获得 $p(S\mid \Delta C_\mathrm{obs})$ 或 $p(S\mid \Delta C>\Delta C_\mathrm{th})$，必须将该似然与源计数先验结合，例如以拟合幅度坐标表示的幂律 $dN/dS$ 斜率或指数。因为这是一个反问题，它必然依赖于种群先验。如果所需先验是内在 $dN/dS_\mathrm{true}$ 而非拟合目录幅度先验，则需要额外的连接 $S_\mathrm{true}$ 与拟合幅度 $S$ 的测量模型。

因此，相应的天覆盖是概率性的，而非来自单一极限幅度的阶跃函数面积。在给定像素 $j$ 处，检测到拟合幅度 $S$ 的源具有目录空间密度

$$q_j(S) \propto P(\Delta C>\Delta C_\mathrm{th}\mid S,x_j,b_j)\,\pi(S), \label{eq:pixel-detected-amplitude-density}$$

在拟合幅度坐标上的归一化常数范围内。因此，传统阈值目录在每个像素处为检测到的幅度分配概率，而非单一确定性极限幅度。在拟合幅度 $S$ 处的相应有效面积为

$$\Omega_\mathrm{th}(S) = \sum_j \Omega_j\, P(\Delta C>\Delta C_\mathrm{th}\mid S,x_j,b_j), \label{eq:traditional-probabilistic-sky-coverage}$$

其中 $j$ 索引天或探测器像素。如果目标是区间 $A$ 内检测到的拟合幅度的期望数量，则相同的概率加权面积与源计数先验结合，

$$N_\mathrm{det}(A) \propto \int_A \Omega_\mathrm{th}(S)\,\pi(S)\,dS . \label{eq:traditional-detected-amplitude-distribution}$$

这就是应用 I 的天覆盖遵循检测到的拟合幅度概率分布的意义所在，而下面的百分位切割构造则从选定的拟合幅度阈值越界概率出发。

应用 II：拟合幅度百分位切割

第二个应用在前向使用相同的核。不是从噪声 $\DETML$ 选定样本出发询问其包含的拟合幅度，而是询问在指定比例的实现中超过检测阈值所需的拟合幅度。这一地图构造步骤固定 $S$ 并求值 $P(\Delta C>\Delta C_\mathrm{th}\mid S,x,b)$，因此不需要 $dN/dS$ 斜率或源计数指数。

通常的灵敏度图计算作为均值曲线交叉恢复为

$$\Delta C_\mathrm{mean}(S,x,b)=\Delta C_\mathrm{th}. \label{eq:mean-curve-crossing}$$

在对称高斯残差近似下，这同时也是第 50 百分位阈值越界点。我们避免将其称为经验 50% 完备性通量，因为注入-恢复完备性通常以注入通量坐标中的 $P(\mathrm{detected}\mid S_\mathrm{true})$ 定义。

更保守的拟合幅度切割通过以更低的百分位曲线求解阈值方程获得，

$$\Delta C_p(S,x,b)=\Delta C_\mathrm{th}, \label{eq:percentile-threshold-crossing}$$

其中 $p<50$。方向很重要。要求给定拟合幅度处 90% 的实现超过阈值使用的是较低的第 10 百分位，而非较高的第 90 百分位：

$$\Delta C_{10}(S,x,b)=\Delta C_\mathrm{th}.$$

类似地，在高斯近似下使用 $\mu-2\sigma$ 下包络对应于约 97.7% 的阈值越界判据。表 [tab:threshold-crossing-terms] 总结了本文使用的术语。

拟合幅度阈值越界切割的天覆盖

将相同的越界规则应用于每个探测器像素产生一族拟合幅度灵敏度图：均值阈值图、来自较低第 16 百分位的 84% 阈值越界图、来自较低第 10 百分位的 90% 阈值越界图，等等。每张图可以通过计数局部极限幅度低于试验拟合幅度的天面积转换为阈值越界天覆盖曲线，

$$\Omega_p(S) = \sum_j \Omega_j\, I\!\left[S_\mathrm{lim}^{(p)}(j) \le S\right],$$

其中 $j$ 索引天或探测器像素，$p$ 表示公式 ([eq:percentile-threshold-crossing]) 中使用的百分位曲线。这一阈值越界天覆盖计算是与可观测条件理论所使用的拟合幅度坐标相同的仪器、目录空间量：它依赖于局部背景、PSF、掩模、阈值和残差校准，但不需要假设的 $dN/dS$ 斜率。源计数模型仅在后续种群推断中需要。

两种用途之间的关系与 Eddington 偏差

两种应用来自相同的条件分布 $p(\Delta C\mid S,x,b)$，但回答不同的问题。应用 I 是后向的：它从观测到的 $\DETML$ 值或 $\DETML$ 选定目录出发推断拟合幅度分布。这是 Eddington 偏差建模的自然设定，因为检测阈值附近的不对称性是由噪声阈值统计量与陡峭源计数先验结合产生的。

应用 II 是前向的：它从拟合幅度出发询问越过 $\DETML$ 阈值的概率。这并不从光度函数推断中消除种群层面的 Eddington 偏差，但允许构造一个具有明确说明的阈值越界概率的仪器目录空间子样本。在这个意义上，百分位灵敏度图是目录构造工具，而阈值选定后验是目录解释工具。

验证要求与局限性

第 5 节的交叉验证验证了均值/中位数阈值拟合幅度映射：在 $\DETML=6$ 处，首选的双线性插值在校准包络内达到最大误差 11.0%，而最近校准位置回退在所有保留位置达到 17.2%。上述两种应用需要在此均值交叉测试之外进行额外验证。对于应用 I，似然核应根据保留模拟中独立 emldetect $\Delta C$ 值的观测分布进行测试。对于应用 II，散布和尾部模型应通过比较预测的阈值越界概率与经验检测分数来验证，例如在预测概率 0.5、0.7 和 0.9 附近分箱。经验通过分数与预测概率的一致性是将低百分位图用作目录阈值越界灵敏度切割的必要验证。

因此，此处提出的应用是一个快速的、分布式的、面向目录的框架，用于阈值解释和拟合幅度阈值越界灵敏度。完整的注入-恢复模拟仍然是复杂巡天场生产选择函数的绝对验证标准。

校准网格、交叉验证表、图形生成脚本、配置文件以及重现关键验证结果的最小脚本将在发表时通过持久的 Zenodo 档案提供。

适用范围与局限性

所提出的框架聚焦于方法论进展：条件均值公式、Fisher 投影方差和可观测条件原理以代数方式转移到任何采用标准三参数拟合的 Poisson PSF 拟合源检测流水线；然而，定量使用需要流水线特定的重新校准。此外，定量校准（具体为位置依赖残差网格、留一交叉验证误差预算和阈值越界拟合幅度映射）已通过 XMM-Newton PN band-4 设定中的单幅图像假源模拟进行了专门验证。将此方法应用于不同的仪器、能段或检测流水线将需要重新推导流水线特定的似然变换并使用匹配的假源网格对实现残差进行完整重新校准。

虽然自洽参考拟合器在高信号区域（$\widehat{S} > 20$）确认了理论模型结构，但这些结果不能盲目外推到阈值带（$\DETML \approx 6$–10）。在较低的拟合信号处（$\widehat{S} \lesssim 12$），参考拟合器表现出正的超出 Fisher 偏差。独立校准将此偏差连同其他算法效应一起吸收到经验 $R_\mathrm{eml}$ 残差中，为局部 $\Delta C$ 和 $\DETML$ 分布提供操作预测。

此外，我们强调我们的经验校准并非对官方 XMM-Newton 随源目录（例如 4XMM）的全面修正。目录环境涉及诸如复杂背景图变化、多观测叠加、渐晕加权和源混淆效应等复杂性，这些在我们的单幅图像独立模拟中未被完全捕获。 其他当前 X 射线目录流水线以实质上不同的机制处理相关复杂问题，例如 eROSITA eSASS/eFEDS 模拟校准检测链 (Brunner 等 2022; Liu 等 2022)，以及具有合并观测、局部 PSF 建模和贝叶斯孔径测光的 Chandra Source Catalog Release 2 系列 (Evans 等 2024)。这些例子强化了此处开发的残差校准是流水线特定的。

关于空间插值，校准包络内的双线性插值提供最小误差，而最近校准位置分配提供已验证的全位置回退。所采用的扇区坐标是校准坐标而非物理探测器方位角。校准保持弱的背景依赖性；将 $b=0.04\,\mathrm{counts\,pixel^{-1}}$ 校准转移到 $0.08\,\mathrm{counts\,pixel^{-1}}$ 背景水平在推断灵敏度极限中引入高达 5.7% 的误差，表明应避免在未重新校准的情况下外推到实质上不同的背景。

如果没有 $R_\mathrm{eml}$ 校准网格可用，未校准理论可用作近似估计，在 $\DETML=6$ 处 $S_\mathrm{lim}$ 最大误差为 19.9%。这是一个回退，而非推荐的校准方法。如果目标设置与已验证域不同，校准应被视为未验证。示例包括：MOS 仪器；合并图像或多样本拟合；具有不同自由度数的固定位置拟合；测试范围 $b=0.02$–$0.08\,\mathrm{counts\,pixel^{-1}}$ 之外的背景；与校准网格不匹配的 PSF 或掩模约定；或官方 4XMM 目录产品。

最后，第 6 节区分了相同前向核的两种用途。传统 $\DETML$ 选定目录的后向解释是种群推断问题，需要源计数先验。前向拟合幅度百分位图在地图构造阶段不需要此类先验，但源计数和 Eddington 偏差修正仍需要假设或拟合的源通量分布，以及在需要时连接内在通量与拟合通量的测量模型。

结论

Cash 统计量在拟合源处的条件均值改进，

$$\mu_{3p}(\widehat{S}, b, \mathrm{psf}, \mathrm{mask}) = E[\Delta C | \widehat{S}, b, \mathrm{psf}, \mathrm{mask}],$$

在 SAS 单幅图像约定（$\nu=3$，$\mathrm{shape}=1.5$；$\DETML=-\ln Q(1.5,\,\Delta C/2)$，因此 $\DETML=6,\,8,\,10$ 对应于 $\Delta C = 14.3,\ 18.6,\ 22.8$）下，针对标准三参数（一个幅度、两个位置）单源 PSF 拟合以闭合形式推导。将 $\Delta C$ 视为采样分布而非单一确定性值是本框架与先前解析均值灵敏度图文献的区别所在。

跨越 17 个 PN band-4 探测器位置（约 $8\times 10^5$ 次拟合）的自洽 psfgen 模板参考拟合器模拟在高信号区域（$\widehat{S} > 20$）将预测均值闭合到 0.07$\sigma$ 以内，将 Fisher 投影方差闭合到约 5% 以内。阈值带 $\DETML=6$–10 处于较低拟合信号（在 $b=0.04\,\mathrm{counts\,pixel^{-1}}$ 处大约 $\widehat{S}\sim 7.5$–$12.1$），其中渐近低信号偏差和独立 SAS emldetect 的实现依赖残差需要经验的位置依赖残差校准 $R_\mathrm{eml}$。已验证的均值/第 50 百分位越界方程

$$\Delta C_\mathrm{mean}(S,b,\mathrm{psf},\mathrm{mask}) = \Delta C_\mathrm{th}$$

在 PN band-4 校准网格上 $\DETML=6$ 处以 11%（首选双线性插值，14 个包络内保留位置中的 10 个）和 17%（最近校准位置回退，全部 14 个位置）的精度重现保留参考极限幅度，在 $b=0.02$–$0.08\,\mathrm{counts\,pixel^{-1}}$ 范围内具有弱背景依赖性（最大测试转移误差 5.7%）。所采用的扇区坐标是校准坐标，而非物理探测器方位角。

对于目录工作，校准核可在两个方向使用。后向，它提供似然因子如 $p(\Delta C_\mathrm{obs}\mid S,x,b)$ 或 $P(\Delta C>\Delta C_\mathrm{th}\mid S,x,b)$，用于结合源计数先验解释传统 $\DETML$ 选定目录。前向，它给出局部拟合幅度阈值越界概率 $P(\DETML>T\mid S,x,b)$。例如，90% 阈值越界拟合幅度极限是预测 $\Delta C$ 分布的第 10 百分位等于检测阈值的源幅度。作为拟合幅度函数的天面积随后通过计数满足所选阈值越界条件的探测器像素得到。

方法论核心独立于 XMM-Newton：三参数 Poisson PSF 源拟合的可观测条件 $\Delta C$ 理论，以及 $\Delta C$ 残差空间而非流水线报告检测统计量空间的阈值校准。扩展到其他 Poisson PSF 拟合源检测流水线是自然的后续工作；上述 XMM-Newton emldetect 结果是本框架内的首次具体验证和校准应用。

数据与代码可用性

校准网格、交叉验证表、图形生成脚本、SAS 配置文件以及重现关键验证结果的最小脚本（包括精确命令、随机种子、psfgen 参数和 emldetect 调用标志）已存入 Zenodo 档案。私有审稿链接可用；最终 DOI 将在接受后插入。

校准网格以机器可读表格提供。代码在开源许可下发布。

注入源强度的诊断角色

图 10 是对条件变量的诊断检查。模拟知道注入的源强度 $S_\mathrm{true}$，但理论和操作校准以拟合幅度 $\widehat{S}$ 为条件。在固定的检测 $\widehat{S}$ 处，来自不同 $S_\mathrm{true}$ 子集的标准化残差分布紧密重叠。最低 $\widehat{S}$ 箱中的残差偏移是第 4.2 节讨论的相同低信号超出 Fisher 偏差，而非以 $S_\mathrm{true}$ 为条件的证据。

致谢

我们感谢国家自然科学基金的支持。本研究使用了从 XMM-Newton 卫星获得的数据，XMM-Newton 是一项 ESA 科学任务，其仪器和贡献由 ESA 成员国和 NASA 直接资助。

参考文献